3D数学基础 图形和游戏开发

一 笛卡尔坐标系

1.1 一维数学

有理数是可数的（与自然数一一对应），实数是不可数的。
自然数和整数的研究成为离散数学（Discrete Mathematics）
对实数的研究成为连续数学（Continuous Mathematics）

计算机图形学第一定律：如果看起来是正确的，那就是对的。

1.2 二维笛卡尔空间

笛卡尔坐标系有一个原点（Origin）和两条轴（Axis）

1.3 三维笛卡尔空间

三维空间分为左右手坐标系，拇指指向+x，食指指向+y，中指指向+z。
旋向性相同的三维空间可以旋转达到轴对齐
左/右手螺旋定则规定了对应坐标系中的旋转正方向

本书使用左手坐标系

1.4 一些零散的基础知识介绍

求和

求和表示法（Summation Notation）类似于 for 循环：

求和符号为希腊字母 sigma Σ 的大写。

求积

求积表示法：

求积符号是的大写。

区间

[1, 5]表示所有大于等于 1，小于等于 5 的数，是闭区间，包含端点。
(1, 5)表示开区间，不包含端点。
(x, y)也可表示二维点。
[x, y]也可表示二维向量。

角度

通常用希腊字母表示一个角度，角度的单位是度（°）或弧度（rad）。
一个完整的圆=360°=2

度和弧度之间可以相互转换，转换规则为：
1rad = (180/π)° ≈ 57.3°
1° = (π/180)rad ≈ 0.01745rad

三角函数

三角函数的定义方法之一：在二维坐标中，以+x 方向开始，向逆时针方向旋转度，在该角度方向绘制长度为 1 的线段，线段终点坐标(x, y)。
余弦 (cosine) = 
正弦 (sine) = 
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0

三角恒等式
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F

二 矢量

2.1 一些数学定义

在线性代数中 Vector 被称为“向量”，在几何中 Vector 被称为“矢量”。

向量：

• 速度（Velocity）：起点与终点间距离除以时间，并注明方向
• 位移（Displacement）

标量（Scalar）：

• 速率（Speed）：距离除以时间，无方向
• 距离（Distance）

向量写法有行向量（Row Vector）和列向量（Column Vector）
可以使用下标（Subscript）表示各个分量（Components），下标可以用 1 2 3 或 x y z

• 标量用斜体的小写罗马字母或希腊字母：
• 向量用粗体小写字母： （或者是在字母上画一个箭头：）
• 矩阵用粗体大写字母：

在线性代数中维数 n 的向量和矩阵可用于求解 n 个未知数的 n 个线性方程组，而不关心数字的物理意义。在 3D 数学中我们主要关注向量运算的几何解释。

2.2 矢量的几何定义

• 矢量的大小（Magnitude）：指矢量长度，矢量可以有非负长度
  • 长度（Length）/ 范数（Norm）
  • 或
• 矢量的方向（Direction）：描述矢量在空间中指向的方向

2.11 矢量点积

点积 Dot Product / 内积 Inner Product
点乘必须要有“”，否则视为矩阵乘法
称为 a 帽（hat），代表 a 方向的单位向量
可以视为 b 在 a 方向上的投影
点乘满足乘法结合律、乘法交换律、乘法分配律

2.12 矢量叉积

叉积 Cross Product
u X v =

称为三重积
叉乘不可交换、不可结合
叉乘反交换：a X b = - ( a X b )

叉乘产生一个新矢量，垂直于原始矢量的平面

产生的矢量的方向决定于左/右手螺旋定则

矢量线性代数恒等式

十一 力学 1：线性运动学和微积分

概述

通常认为宇宙在空间和时间上都是离散的。物质可以被分解为原子，空间和时间的结构也可以被分解为离散的碎片。我们使用连续的理论对离散进行模拟。

经典力学，也就是牛顿力学（Newtonian Mechanics）的一些简化的假设：

• 时间是绝对的
• 空间是欧几里得空间
• 可以进行精确测量
• 宇宙表现出因果关系和完全可预测性

前两个被相对论打破，后两个被量子力学打破，但在游戏中够用

我们通过学习运动学（Kinematics）了解力学，运动学是在简单常见的情况下描述粒子运动方程式的研究。
而运动是动力学（Dynamics）的主题

基本数量和单位

长度（Length）
时间（TIme）
质量（Mass）

质量更精确的定义是对惯性（Inertia）的度量，是物质的固有属性，而重量（Wieght）则取决于当前被施加的引力（Gravity）强度。
速度（Velocity）定义为净位移（Net Displacement）/时间，可以为付
速率（Speed）定义为 L/T，不可为负

瞬时速度和导数

计算平均速度需要计算经过的时间和距离，而瞬时速度则不存在 ΔT ΔL，为此，牛顿发明了导数（Derivative）。
导数可以适用于任何一个变量随着其他变量的变化而变化的问题。

导数可以测量函数的变化率（Rate of Change）。
但一段时间内的速度恒定时可以用平均速度表示瞬时速度，当速度随时间变化时，可以使用导数函数计算任意时间点的瞬时速度。

通过定义计算导数

导数的定义：但输入的变化无穷小时，输出的变化除以输入的变化的比率。

导数的表示方法